sábado, 18 de fevereiro de 2017

150 anos de "Uma Noite no Monte Calvo"



Neste ano, dia 23 de junho, farão 150 anos, considerando-se o calendário gregoriano, da composição de uma das maiores obras do repertório musical russo: “Uma Noite no Monte Calvo” do genial Modest Mussorgsky. Nutro uma admiração ímpar por esta peça desde que a escutei pela primeira vez na casa de meu avô, considerando-a uma das mais originais, criativas e intensas que já cruzaram meus ouvidos. Trata-se de um dos primeiros poemas sinfônicos da história russa. Dada a inquietante ausência de material em português acerca desta obra-prima e de sua fascinante concepção, decidi redigir este artigo com o fito de trazer um pouco da essência de sua história. Intento, pois, agir em nome de seu legado.

Talvez nenhuma composição tenha logrado tão fantasticamente um cenário frenético, demoníaco e macabro quanto os acordes de trovão desta obra. Seu ar trevoso assombra seus ouvintes há pelo menos um século.

O poema sinfônico “Uma Noite no Monte Calvo”, súmula da perdição, retrata um episódio em que bruxas, espíritos malignos, almas condenadas e asseclas do demônio reúnem-se em um ritual de sabbath no cume de uma montanha desolada para invocar Satã, intermediado por cultos de feitiçaria. Neste desenlace horripilante, as amaldiçoadas criaturas dançam furiosa e libidinosamente madrugada adentro louvando seu mestre. “Monte Calvo”, de acordo com a tradição eslávica oriental, seria o Lysa Hora, uma montanha do Cáucaso localizada na cidade de Kiev, capital da Ucrânia, palco de muitas das lendas mitológicas do povo eslavo. A inspiração de Mussorgsky para compor este poema de tom foi a leitura do conto “Noite das Bruxas” do consagrado escritor russo Nikolai Gogol. “Calvo”, da tradução russa, é um adjetivo para se referir a uma montanha desolada, desprovida de árvores. 

Lysa Hora, Ucrânia, ao poente. 


Diferentemente de muitas peças do gênero, e até mesmo de suas próprias, Mussorgsky a finalizou originalmente em uma investida só. Tão somente doze dias de composição e pura ignição criativa. Ele nem mesmo procurou partir de um rascunho a ser esculpido com o tempo, atirou-se imediatamente a fluir sua inventividade ao piano e voilà, cá reside uma das peças mais icônicas do romantismo e cultura czaristas.

A peça foi concebida no dia da Véspera de São João, dia 23 de junho de 1867, disto decorre o título original da peça, Noite da Véspera de São João no Monte Calvo. O nome provém de João Batista e está atado a antigos rituais pagãos, possivelmente rituais de fertilidade, que eram festejados no dia do solstício de verão. A Igreja Ortodoxa manteve a data do ritual, porém alterou seu significado para uma celebração religiosa cristã, declarando-a um dia de festividades em homenagem a João Batista.

Mussorgsky trabalhou com diversas versões deste trabalho, adaptando-o duas vezes e alterando algumas partes. Originalmente, sua ideia era uma ópera calcada na estória escrita por Gogol intitulada “Véspera de São João”, cujo enredo envolvia bruxaria. Posteriormente, considerou redigir uma ópera diferente, baseada em uma peça de seu amigo, o Barão Georgiy Mendgden, chamada “A Bruxa”. O intuito do jovem compositor era que sua criação fosse em forma e caráter, russa e original, certificando-se de que estivesse completamente de acordo com a tradição popular e folclórica russa.

A versão original tinha um enredo desenvolvido em quatro partes. O entrecho seguia assim: bruxas assemblavam-se no cume da montanha, tagarelavam, faziam travessuras e pregavam peças enquanto aguardavam a chegada de seu supremo, Satã. Em sua chegada, rodeavam-no o trono em que se sentava, e cantavam em seu louvor. Quando Satã satisfazia-se com seu enaltecimento, escolhia para si as bruxas que o despertavam o desejo. O programa musical da peça dividia-se da seguinte maneira:

1.     Reunião das bruxas, suas falas e prosas; 

2.     Jornada de Satã;
3.     Louvores obscenos de Satã;
4.     Sabbath.

Infelizmente, este exímio artista jamais chegou a apreciar a execução de sua obra em vida, uma vez que seu trabalho fora rejeitado por Balakirev, seu mentor, que a criticou em demasia, considerando-a uma bagunça. Suspeita-se, atualmente, que a balbúrdia sonora não tenha sido incidental, acreditando-se que um fraseamento musical perdido, uma linearidade por vezes não tão evidente, motivos atônitos e eventuais notas dissonantes foram premeditadas a fim de produzir uma sensação de um cenário infernal. De todo modo, Mussorgsky ficou muito descontente em frente à rejeição, porém não entregou as pontas e retomou sua composição. 

A solução encontrada por Mussorgsky para apresentar sua criação aos ouvidos do mundo foi converter a peça isolada em uma cena de uma de suas óperas em produção. Inicialmente, apareceria em Mlada de 1872, que não veio à tona, uma vez que fora cancelada. Insistente e esperançoso, o russo natural de Karevo retoma a produção e desta vez reforma sua peça, ajeitando uma porção de motivos e fraseamentos, deletando diversas partes e inserindo árias para coro. Dois anos mais tarde, Mussorgsky inicia a composição do libretto de sua nova ópera, “A Feira em Sorochyntsi”, uma ópera cômica dividida em três atos, baseada no conto homônimo de, novamente, Gogol. A ópera continuaria em elaboração até 1880, pouco antes da morte do autor e, destarte, também inacabada. 

Beberrões a cantarolar, ciúmes, danças típicas, contos folclóricos, bruxaria, pessoas dotadas com efervescente fonte de energia, constituem a obstinada trama no coração do mercurial truque de Mussorgsky nesta sua nova ópera. A fábula de um demônio dipsómano a procura de um vestido vermelho conduz o terror aos corações dos habitantes e dos viajantes supersticiosos na pequena aldeia ucraniana de Sorochyntsi, incluindo o fazendeiro Cherevik. Sua filha, Parasya, ama Gritsko, o camponês, mas não tem permissão de seu pai para casar-se com ele pois sua procrastinada madrasta, Khivrya, que torna a vida de seu marido uma miséria, acha que um rapaz humilde e plebeu é assaz ralé. Todavia, qualquer um que saiba usar a superstição terá os ventos a soprar a seu favor. Quadros impolutos em uma sequência desprendida, casualmente desconectada, recheiam a ópera inacabada com uma rica e folclórica vivacidade. A façanha de Mussorgsky, então, para preservar seu tenebroso poema sinfônico foi inclui-lo como uma cena intermezzo do primeiro ato que ficou conhecida como “Visão dos Sonhos de um Camponês”, em que Gritsko está a dormir de roncar após uma conversa sobre diabruras e tem um sonho em que este presencia um rito satânico onde reúnem-se bruxas, duendes e demônios a cultuar Chernobog, o eslávico deus das trevas. A adoração é praticada até que o soar dos sinos de uma igreja enfraquece e espanta os seres de volta ao submundo. O novo programa da cena agora é:
  1. Rugidos de criaturas subterrâneas, proferindo palavras inumanas; 
  2. O reino subterrâneo das trevas emerge e zomba do aldeão adormecido;
  3. Presságio da aparição do demônio Chernobog;
  4. O campesino aparta-se dos espíritos sombrios. Chernobog irrompe;
  5. Veneração de Chernobog e missa negra;
  6. Sabbath;
  7. No momento mais selvagem do Sabbath, o soar de um sino de uma igreja. Chernobog encobre-se e esvai-se;
  8. Sofrimento dos demônios;
  9. O clero da igreja canta;
  10. Desaparição dos demônios e despertar do camponês. 
Satanás sentado em seu trono ao centro de um sabbath de bruxas. Duas bruxas cozinham crianças desmembradas em seu caldeirão; os demônios deleitam-se deles à esquerda. Gravura de linha de Bartholomeus Spranger datada do século XVIII, cortesia de Wellcome Library, Londres. 

Nikolai Rimsky-Korsakov, restaurador e autor
da versão  mais conhecida da obra.
A versão mais conhecida e ouvida de “Uma Noite no Monte Calvo”, em verdade, é uma revisão, ou melhor, uma reconstrução de um amigo de Mussorgsky e um dos grandes compositores russos do romantismo czarista, Nikolai Rimsky-Korsakov. Este tomou a liberdade de legar o trabalho de seu amigo, na época já falecido, e finalmente torna-lo acessível ao público pela primeira vez desde sua primeira e sinuosa versão de 1867. Em síntese, a intervenção deste foi possibilitar que o esforço de Mussorgsky não tivesse sido em vão. Para tanto, Korsakov transpareceu a obra deixando-a novamente apenas como um poema sinfônico e ajeitou e corrigiu pontos aqui e acolá, além de retirar algumas barras, acertar o tempo, remover alguns trechos tidos como desnecessários ou excessivos, aproximando um pouco a composição dos ares mais germânicos apreciados na época. A tão sonhada execução finalmente ocorreu e não poderia ser diferente, foi um sucesso de primeira instância! A 15 de outubro de 1886, quase duas décadas após o original, o poema é executado pela Orquestra Sinfônica Russa em São Petersburgo, sob regência do próprio Rimsky-Korsakov. Recordações manuscritas deste contam que a peça era desejada de novo e de novo, incessantemente, pelo público. Até hoje é um dos favoritos nos concertos.  

Chernobog sumonando as almas condenadas
ao cume do Monte Calvo em Fantasia da Disney.
Tão famosa quanto a versão de Rimsky-Korsakov, é o arranjo orquestral de 1940 do imortal maestro Leopold Stokowski, que, encarregado pela nova longa-metragem da Disney, Fantasia, empreendeu uma restauração e aprimoramento da versão conhecida de Korsakov que estrelou no último item do programa do filme. A versão de Stokowski inclui acordes dissonantes do ensemble de cordas para realizar um efeito de redemoinho fantasmagórico, algumas mudanças no tempo, redução a uma oitava abaixo em alguns pontos fitando um som mais sinistro e uma explosão irada decrescente encerrada por um gongo antes do soar dos sinos. O final também foi alterado para obter uma conexão motivacional com a delicada e celestial “Ave Maria, op. 52” do austríaco Franz Schubert.  

Um pouco sobre a vida do gênio russo, arquiteto por detrás do poema

Mussorgsky não recebeu educação formal em teoria musical, sendo, pois, autodidata, aprendendo o piano sozinho em sua própria casa. Talvez seja esta a razão pela qual não logrou tantos trabalhos publicados quanto seus compatriotas russos. Desde criança sonhava em ser músico e libretista. Por tradição da família, encetou carreira como cadete na Academia Militar da Guarda Imperial. Lá teve a oportunidade de conhecer Balakirev, seu mentor musical, bem como outros intelectuais da música, um deles César Cui. Desligou-se da vida militar em 1858 em função de uma crise nervosa.

Apesar de ter nascido em uma família abastada, Mussorgsky caminhou em direção à pobreza até o fim de sua vida, pois certa vez sua família teve uma enorme perda de propriedades, deixando-os miseráveis. Este triste inesperado foi pivotal para algo que lhe levaria à morte anos depois, o alcoolismo. O mal ainda piorou após a morte de sua mãe em 1865. Conta-se que o jovem compositor, em seus últimos anos, vivia em constante bebedeira por bares pocilga. Uma triste anedota deste período final de sua vida relata que certa vez apareceu a um amigo em pleno pânico e disse “nada resta senão mendigar” e então colapsou, seguido de quatro convulsões sucessivas.

Mussorgsky faleceu em virtude de seu uso abusivo de álcool em 1881, sem um tostão sequer. Hoje é considerado largamente pela comunidade acadêmica e especialistas da música como o mais original e majestoso dos “Cinco”. O Grupo dos Cinco foi um conjunto de compositores russos, situados em São Petersburgo, que tinham como meta a elaboração de músicas puramente russas, em oposição ao famigerado germanismo europeu com figuras do quilate de Wagner e Beethoven, e buscavam retratar fielmente os costumes e contos de sua terra e, por isso, amplamente tidos como nacionalistas. Compunham o grupo: os já citados Balakirev, Mussorgsky e Rimsky-Korsakov, além de Cui e Borodin.  

Escute algumas versões deste clássico

Versão restaurada de Rimsky-Korsakov, a mais conhecida. [ Acesse aqui ]
Versão original, Noite da Véspera de São João no Monte Calvode 1867. [ Acesse aqui ]
Versão operística, Visão dos Sonhos de um Camponês. [ Acesse aqui ]
Versão arranjada por Leopold Stokowski, estrelado em Fantasia. [ Acesse aqui ] 




sábado, 28 de janeiro de 2017

Jóias da Música

Caros veneradores da música erudita, anuncio-vos minha lista de reprodução Jóias da Música, carregada no YouTube a partir do CD "Jóias da Música Volume 4".

Prema aqui para aceder à lista de reprodução.

Playlist:
01 - A Manhã de "Peer Gynt" - Edvard Grieg (3'42)
02 - Do Danúbio Azul - Valsa - Johann Strauss II (10'00)
03 - Chega dos Convidados - Richard Wagner (6'38)
04 - Cena de "O Lago dos Cisnes" - Pyotr Tchaikovsky (2'35)
05 - Andante - W. A. Mozart (6'24)
06 - Sinfonia N° 4 em Mi Bemol, A "Romântica", Scherzo - Anton Bruckner (10'41)
07 - "La Traviata", Prelúdio do 1° Ato - Giuseppe Verdi (3'40)
08 - Da Suíte N° 2 "Badinerie" - J. S. Bach (1'27)
09 - Concerto para Órgão e Orquestra N° 2, Abertura, Grave - G. F. Haendel (1'50)
10 - Rapsódia Húngara - Franz Liszt (11'58)

segunda-feira, 9 de janeiro de 2017

Belos Clássicos

Caros veneradores da música erudita, anuncio-vos minha lista de reprodução Belos Clássicos, carregada no YouTube a partir do CD "Os Mais Belos Clássicos Volume 3" produzido pela Deutsche Grammophon e PolyGram, compilada em 1995.

Prema aqui para aceder à lista de reprodução.

Playlist:
01 - Abertura de Tannhäuser - Richard Wagner (14:43)
02 - A Bela Adormecida - Pyotr Tchaikovsky (6:59)
03 - Toccata & Fuga, em Ré Menor, BWV 565 - Johann Sebastian Bach (8:22)
04 - Sonho de uma Noite de Verão: Marcha de Casamento - Felix Mendelssohn (4:27)
05 - Quinteto de Cordas em Mi Maior, G. 281 - Luigi Boccherini (3:20)
06 - Suíte de Carmen - Georges Bizet (9:01)
07 - Scheherazade, Op. 35 - Nikolai Rimsky-Korsakov (9:56)
08 - Pavane pour une Infante Défunte - Maurice Ravel (6:14)
09 - Príncipe Igor - Aleksandr Borodin (14:05)

sexta-feira, 11 de novembro de 2016

Um copo de chope e a altura de um cone

Num dia de muito calor Augusto senta-se à mesa de um bar e pede um chope. Nesse lugar, o chope é servido em “tulipas”, que são copos com a forma de um cone invertido.
No preciso instante em que o garçom traz a bebia, chega à mesa de Augusto o seu amigo João.
— Como vai, João? Sente-se e tome a metade deste copo de chope. Eu tomo a outra metade.
A fisionomia de João mostra alguma surpresa. Como determinar a metade do conteúdo do copo, se o copo é cônico? 
Augusto alivia a situação. 
— Meu caro amigo! Com a ajuda de uma régua e de uma calculadora, podemos resolver o nosso problema.
Augusto então saca de sua régua, calculadora e caneta, escrevendo a solução num guardanapo, sob o olhar estupefato do garçom.
— Observe, João, que o copo tem 20 cm de altura. Desejamos obter a altura da superfície do líquido que corresponda à metade do volume do copo. Para isso, precisamos recordar dois teoremas.
Teorema 1: Toda seção paralela à base de um cone forma um outro cone semelhante ao primeiro.
Teorema 2: A razão entre o volume de sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.
E continua a explicação.
— Se você tiver tomado uma parte do conteúdo deste copo, teremos aqui, pelo teorema 1, dois objetos semelhantes: o cone formado pelo líquido e o próprio copo. A razão de semelhança entre esses dois cones é a razão entre suas alturas, ou seja, h/20. Como desejamos que o líquido tenha a metade do volume o copo, pelo teorema 2 podemos escrever: 1/2 = h^3/20, isto é, h/20=1/∛2.
Assim, a altura que corresponde à metade do volume do copo é h = 10∛4 cm.
João concorda com a perfeita explicação, mas repara que a resposta não resolve ainda o problema porque ele não tem a menor ideia de quanto é 10∛4 cm. E então Augusto, com a sua calculadora e seu sorriso irônico, diz:
— Ah! É bom saber que esse valor dá aproximadamente 16 cm.
Bem, o problema foi resolvido e o chope, já meio quente, foi adequadamente dividido. Falta apenas o final da história. 
Nessa altura, as pessoas das outras mesas ouviam atentamente nossos personagens com um misto de admiração e espanto. Nisso, João faz uma descoberta, que anuncia em alto e bom som: 
— Este problema me revela que quando somos servidos em tulipas com 4 cm de colarinho estamos tomando apenas metade do conteúdo do copo. Assim, se eu digo que tomei 10 chopes, na verdade tomei 5, mas paguei 10!
E foram expulsos do bar. 

Fonte: Eduardo Wagner, Revista do Professor de Matemática, n° 25, p. 10, SBM, 1994 (adaptado).

domingo, 6 de novembro de 2016

Lovers Concerto

Aos entusiastas da música erudita: carreguei em uma lista de reprodução no YouTube o CD "Lovers Concerto", volume 10, Digital Recording DDT Stereo, produzido pela Movieplay.

Clique aqui para acessar a lista de reprodução.


Playlist:
01 - O Amor Bruxo - M. de Falla (4:24)
02 - Quinteto de Piano em Lá Maior Op. póstumo 114, D 667 "A Truta" - F. Schubert (7:44)
03 - Os Planetas: Netuno - O Místico - G. Holst (7:49)
04 - Cigana, Rapsódia de Concerto para Violino e Orquestra - M. Ravel (11:01)
05 - Evgeny Onegin, Valsa & Coro Ato II - P. I. Tchaikovsky (6:15)
06 - Concerto de Piano No. 2 em Si bemol maior Op. 83, Andante - J. Brahms (12:42)
07 - Don Pasquale: Coro de Servant - G. Donizetti (3:33)
08 - Quadros em uma Exibição: O Grande Portal de Kiev - M. Mussorgsky (5:56)
09 - La Campanella (O Sino): Rondó para Concerto de Violino No. 2 em Si menor Op. 6 - N. Paganini (6:04)
10 - Um Sonho de uma Noite de Verão, Scherzo Op. 61 - F. Mendelssohn-Bartholdy (5:24)

segunda-feira, 17 de outubro de 2016

Famous Opera Marches

Para os apreciadores de música erudita: carreguei em uma lista de reprodução no YouTube o CD "Famous Opera Marches", produzido pela Allegro, contendo prestigiadas marchas operísticas executadas pela Orquestra Sinfônica da Rádio Bratislava sob regência do maestro Ondrej Lenárd.

Clique aqui para acessar a lista de reprodução. 


Playlist:
01 - Marcha Turca - Beethoven
02 - Marcha dos Sacerdotes - Mendelssohn-Bartholdy
03 - Marcha de Aida - Giuseppe Verdi
04 - Abertura do Holandês Voador - Richard Wagner
05 - Marcha de Coroação - Giacomo Meyerbeer
06 - A Perdição de Fausto - Hector Berlioz
07 - Marcha de Casamento - Mendelssohn-Bartholdy
08 - Marcha de Tchemor - Mikhail Glinka
09 - Marcha Jubilosa - Emmanuel Chabrier
10 - Uma Noite no Monte Calvo - Modest Mussorgsky 

domingo, 25 de setembro de 2016

A Matemática como Arte

A Matemática como Arte
John William Navin Sullivan
in "The World Of Mathematics". Washington: Tempus Books. Volume III, pp. 1989-1995.

O prestígio de que gozam os matemáticos em todos os países civilizados não é fácil de entender. O que é valorizado pela generalidade dos homens ou é útil ou dá prazer, ou ambas as coisas. A agricultura é sem dúvida uma ocupação válida, assim como tocar piano. Mas porque serão as actividades dos matemáticos consideradas importantes? Pode dizer-se que a matemática é válida pelas suas aplicações. Todos sabemos que a civilização moderna, numa extensão sem precedentes, depende da ciência e, grande parte, essa ciência seria impossível na ausência de matemáticas altamente desenvolvidas. Isto é sem dúvida uma consideração importante. É também verdade que a matemática tem beneficiado com a crescente importância atribuída à ciência como consequência das "magnificas" capacidades reveladas na última guerra. Mas é duvidoso que esta consideração por si só seja adequada para explicar a elevada posição que a matemática tem tido ao longo de grande parte da sua história. Por outro lado, não parece que possamos atribuir muita importância à ideia defendida por muitos matemáticos de que a sua ciência é uma arte deliciosa. Esta afirmação é sem dúvida justificada. Mas o facto de que, muito poucos indivíduos retirem grande prazer em incompreensíveis projectos não é razão para que o homem comum os deve admirar e suportar. O professorado do xadrez não está estabelecido, mas existem provavelmente mais pessoas que apreciam as "belezas" do xadrez do que as da matemática. A posição actualmente atribuída à matemática pelo público não matemático deve-se em parte à utilidade da matemática e em parte à persistência, numa forma mais ou menos vaga, de ideias idosas e erradas relativas ao seu real significado. Apenas em tempos mais recentes, o correcto estatuto da matemática foi descoberto. Contudo, existem ainda muitos e aspectos importantes desta maravilhosa actividade que continuam misteriosos.

É provável que a matemática tenha surgido com Pitágoras. Não há nenhuma evidência de que a actividade a que chamamos raciocínio matemático fosse reconhecida e praticado antes de Pitágoras. É certo que alguns resultados aritméticos seriam há muito conhecidos. Mas nem a geometria nem a álgebra tinham sido criadas. As fórmulas geométricas utilizadas pelos antigos egípcios, por exemplo, tinham fundamentalmente a ver com problemas de sobrevivência e eram obtidas de forma empírica. Estavam em geral erradas e não eram acompanhadas por demonstrações. É estranho que esta particular possibilidade da mente tenha sido descoberta tão tarde, pois é completamente independente de circunstâncias externas. Até a música, a mais independente usualmente chamadas de artes, é mais dependente do ambiente que a matemática. Contudo, tanto a música como a matemática, as duas mais "subjectivas" criações humanas, foram particularmente tardias e lentas no seu desenvolvimento. E assim como nos é impossível entender o que a música rudimentar significava para os gregos, igualmente é impossível compreender as dificuldades da mente pré-matemática. O entusiasmo musical de Platão está tão distante de nós como as dificuldades demonstradas por aquele Imperador Chinês que não conseguia ser convencido por demonstrações abstractas de que o volume de uma esfera varia consoante o quadrado do raio. Teve várias esferas de diferentes tamanhos cheias de água e pesadas. Esta era a sua concepção de demonstração. E isto deve ter sido típico no pensamento antigo. Menosprezaram uma faculdade assim como os Gregos menosprezaram o sentido de harmonia.

Não é, pois, surpreendente que, quando a mente toma conhecimento pela primeira vez deste insuspeito poder, não tenha compreendido a sua verdadeira natureza. Aparentou ser muito mais significativo, ou pelo menos, significativo de maneira diferente do que era na realidade. Para os Pitagóricos, deslumbrados pelo charme estético dos teoremas que descobriram, o número tornou-se o princípio de todas as coisas. O número era suposto ser a verdadeira essência do real. Tudo o que podia ser previsto eram aspectos do número. O número um é, neste sentido, aquilo que chamamos de razão, porque a razão é invariável e a verdadeira essência da invariabilidade é expressa pelo número um. O número dois, por outro lado, é ilimitado e indeterminado. A "opinião" é a expressão do número dois. A essência do casamento é expressa pelo número cinco, porque cinco se alcança pela combinação de três e dois, sendo que o primeiro número é masculino e o segundo é feminino. O número quatro é a essência da justiça, pois quatro é o produto de iguais. Para compreender esta perspectiva é necessário entrar nessa condição mental em que as analogias representam a realidade. Estranhas expressões como, masculino e feminino, claro e escuro, recto e curvo, tornaram-se então expressão de algum princípio profundo de oposição que constitui o mundo. Existem diversos escritores místicos e semi-místicos nos nossos dias que conseguem pensar desta maneira e é necessário admitir que não é fora do comum encontrar pensamentos destes, de outra maneira ortodoxos, que conseguem adaptar este tipo de raciocínio sem qualquer desconforto. Até Goethe no Farbenlehre, considera que o triângulo tem um significado místico.

Enquanto o verdadeiro estatuto lógico das proposições matemáticas permaneceu desconhecido foi possível que diversos matemáticos conjecturassem que eles tinham algum relacionamento profundo com a estrutura do universo. As proposições matemáticas eram supostas ser verdadeiras independentes das nossas mentes pressuposto a partir do qual foi deduzida a existência de Deus. Na realidade esta doutrina era um refinamento das fantasias Pitagóricas, defendida por muitos que não acreditavam nas propriedades místicas dos números. Mas a visão mística dos números continuou a florescer durante muitos séculos. Até Santo Agostinho, quando se referiu à perfeição do número seis, disse: "seis é um número perfeito em si mesmo, e não por causa de Deus ter criado todas as coisas em seis dias. Da mesma maneira, a tese inversa segundo a qual Deus criou as coisas em seis dias por seis ser um número perfeito, também não é verdadeira porque seis continuaria a ser perfeito mesmo que o trabalho dos seis dias não existisse".

Com base em especulações deste tipo, a doutrina Pitagórica desenvolveu-se, por um lado, de forma respeitável, numa filosofia das verdades necessárias, por outro lado, em imbecilidades cabalísticas. Muito bons matemáticos tornaram-se cabalistas. O famoso Michael Stifel, um dos mais aclamados algebristas do século XVI, considerou que a parte mais importante do seu trabalho foi a interpretação cabalística dos livros proféticos da Bíblia. Este método granjeou um grande prestígio, como se pode verificar pela crença generalidade de que o mundo iria profeticamente ter o seu termino em 3 de Outubro, de 1533. O resultado foi que muitas pessoas abandonaram as suas habitações e gastaram os seus bens tendo constado que, quando a data chegou e passou, estavam arruinados. Figuras geométricas como o polígono em estrela, eram supostas ter um profundo significado. Mesmo Kepler, após demonstrar as suas capacidades matemáticas com perfeito rigor, continua explicando o seu uso como amuletos e conjuras. Pode encontrar-se outro sinal da persistência desta forma de olhar as entidades matemáticas nos primórdios do desenvolvimento das séries infinitas, que foi amparado pelo exagero atribuído às operações matemáticas. De tal forma que, no tempo de Leibniz, se acreditava que a soma de um número infinito de zeros era igual a œ, e se tentava que esta óbvia idiotice fosse plausível dizendo que era a analogia matemática da criação do mundo a partir do nada.

Existem evidências suficientes da existência de uma tendência muito ampla para atribuir significado místico às entidades matemáticas. E existem diversos indícios de que esta tendência persiste mesmo nos nossos dias. É possível que, na altura, o prestígio dos matemáticos não fosse desassociado do prestígio usufruído pelos mestres do oculto. A posição atribuída aos matemáticos tem sido, em grande parte, devida às superstições da humanidade, embora sem qualquer dúvida ser justificada de forma racional. Durante um longo período, particularmente na Índia e na Arábia, os homens tornavam-se matemáticos para serem astrónomos e tornavam-se astrónomos para serem astrólogos. O objectivo das suas actividades era a superstição, não a ciência. Até mesmo na Europa, e durante muitos anos depois do princípio do Renascimento, a astrologia e assuntos semelhantes eram importantes justificações para as pesquisas matemáticas. Já não acreditamos na astrologia ou hexágonos místicos, mas ninguém que tenha conhecimento da imaginação de algumas pessoas não ligadas à ciência, pode deixar de suspeitar que o Pitagorismo ainda não está morto. Quando consideramos a outra justificação da derivação da matemática pelo olhar dos Pitagóricos - a sua justificação com base no facto de que ela oferece os mais claros e indiscutíveis exemplos de verdades necessárias - encontramos esta perspectiva longe de extinta, admitida ainda por eminentes professores de lógica. E, no entanto, a geometria não euclediana, com já um século de vida, mostrou que essa perspectiva era bastante indefensível. Este ponto de vista é bem expresso por Descartes, numa famosa passagem da sua Quinta Meditação: "eu imagino um triângulo e, ainda que uma tal figura não exista em nenhum lugar do mundo fora do meu pensamento, nem tenha já mais existido, não deixa de existir uma certa natureza ou forma, ou essência determinada dessa figura a qual é imutável e eterna, que eu não inventei e que não depende de nenhuma maneira do meu espírito. Assim se explica que se possam demonstrar diversas proposições desse triângulo, a saber que os seus três ângulos são iguais a dois rectos, que o maior ângulo é correspondeste ao maior lado e outras semelhantes as quais quer eu queira ou não, reconheço muito claramente e muito evidentemente pertencerem ao triângulo ainda que eu nunca tenha pensado nisso de nenhuma maneira quando imaginei pela primeira vez um triângulo, sendo portanto impossível dizer que eu fiz ou inventei essas propriedades."

Um triângulo, segundo Descartes, não depende de forma alguma de uma mente, tem uma existência eterna completamente independente do nosso conhecimento. As suas propriedades são descobertas pela nossa mente mas não dependem de forma alguma dela. Esta forma de encarar as entidades geométricas durou 200 anos. Para os platonistas, as proposições geométricas expressam verdades eternas, relacionadas com o mundo das Ideias, um mundo à parte, separado do mundo sensível. Para aos seguidores de Santo Agostinho as ideias platonistas transformam-se nas ideias de Deus; e para os seguidores de São Tomás de Aquino tornaram-se aspectos do mundo divino. Durante toda a filosofia escolástica a verdade necessária das proposições geométricas desempenha um papel muito importante e, como já dissemos, existem filósofos dos nossos dias que consideram os axiomas da geometria euclideana como verdades irrefutáveis. Se esta perspectiva se justifica, então as faculdades matemáticas permitem-nos aceder a um mundo eterno, mas não sensível. Antes das descobertas dos matemáticos, esse mundo era-nos desconhecido, mas, contudo, existia Pitágoras não inventou a matemática mais do que Colombo inventou a América. Será que esta é uma descrição verdadeira da natureza matemática? É a matemática realmente um corpo de conhecimento sobre um mundo supersensível? Alguns de nós estarão recordados de certas afirmações feitas sobre a música. Alguns músicos ficaram tão impressionados pela extraordinária impressão da "inevitabilidade" de alguns trabalhos musicais que declararam dever existir uma espécie de céu no qual as frases musicais já existam. O grande músico será aquele que descobre essas frases - que as ouve por assim dizer. Os músicos inferiores ouvem-nas de uma forma imperfeita e por isso dão uma contribuição confusa e distorcida da realidade pura e celestial. Digamos que as faculdades para compreender a música são raras, mas que, pelo contrário, as faculdades para entender triângulos celestiais, parecem estar presentes em todos os homens.

Estas noções, no que dizem respeito à geometria, estão fundadas na suposta necessidade dos axiomas de Euclides. Os postulados fundamentais da geometria euclidiana eram considerados, até ao princípio do século XIX, pela generalidade dos matemáticos e filósofos como conceitos necessários. Não se tratava apenas de reconhecer que a geometria euclidiana era a geometria do espaço existente, mas sim que era necessariamente a geometria de qualquer espaço. Contudo, desde cedo se havia constado que existia uma falha neste edifício aparentemente impecável. A conhecida definição das paralelas não suficientemente obvia, e já os seguidores gregos de Euclides haviam feito tentativas para a melhorar. Também os Árabes, quando entraram em contacto com as matemáticas gregas, perceberam que o axioma das paralelas era insatisfatório. Ninguém duvidava que fosse uma verdade necessária, mas pensava-se que deveria haver uma maneira de o deduzir a partir dos outros mais simples axiomas de Euclides. Com a difusão das matemáticas na Europa surgiram imensas tentativas de demonstração do axioma das paralelas. Algumas eram milagres de ingenuidade, mas é possível mostrar que, em qualquer caso, se partia sempre de pressupostos que eram equivalentes a aceitar o axioma das paralelas. Uma das mais conceituadas investigações foi a do padre Jesuíta Girolamo Saccheri cujo tratado apareceu no princípio do século XVIII. Saccheri era um lógico extremamente hábil, também capaz de fazer pressuposições injustificadas. O seu método consistiu em desenvolver as consequências da negação do axioma das paralelas de Euclides mantendo os outros axiomas. Desta forma, esperava desenvolver uma geometria contraditória, pois partia do princípio indubitável de que o axioma das paralelas era necessariamente verdadeiro. Mas, apesar de Saccheri ter lutado arduamente, não conseguiu ter sucesso em contradizer-se. O que realmente fez foi lançar os fundamentos da primeira geometria não euclidiana. Apesar disto e embora D'Alembert tivesse expresso a opinião de que todos os matemáticos do seu tempo declaravam que o axioma das paralelas era o "escândalo" da geometria, ninguém parecia ter sérias dúvidas sobre isso. O primeiro matemático a tomar consciência de que o axioma das paralelas podia ser negado e, mesmo assim, ter-se uma geometria bem estruturada foi Gauss. Mas Gauss depressa constatou como era vacilante, como era chocante, o que tinha feito e teve medo de publicar a sua demonstração. Estava reservado para o russo Lobachevsky e para o húngaro Bolyai, a publicação da primeira geometria não euclidiana. Tornou-se imediatamente óbvio que os axiomas de Euclides não eram necessidades do pensamento, mas algo bastante diferente e que não existia razão alguma para supor que os triângulos tinham uma existência celestial.

Os desenvolvimentos posteriores da geometria não euclidiana e a sua aplicação aos fenómenos físicos por Einstein mostraram que a geometria euclidiana, não só não era única, como não era a geometria mais conveniente para aplicar ao espaço existente. E com isto deu-se obviamente uma profunda mudança no estatuto atribuído às entidades matemáticas e no significado atribuído às actividades matemáticas. Podemos partir de qualquer conjunto de axiomas desde que sejam consistentes uns com os outros e trabalhar as suas consequências lógicas. Fazendo-o, criamos um ramo da matemática. As definições e postulados elementares não são dadas pela experiência nem são necessidades de pensamento. O matemático é inteiramente livre, dentro dos limites da sua imaginação, para construir os mundos que desejar. O que vai imaginar é resultante do seu próprio capricho. O matemático não descobre os principais fundamentos do universo nem toma contacto com as ideias de Deus. Se consegue encontrar na experiência conjuntos de entidades matemáticas que obedecem ao mesmo esquema lógico das suas entidades matemáticas, então aplica a sua matemática ao mundo real, cria um ramo da ciência. Porque razão deve o mundo real obedecer às leis da lógica? Porque razão deve a ciência ser possível? Não são questões fáceis. Inclusivamente existem indicações nas teorias da física moderna que levam alguns homens de ciência a duvidar se, finalmente, o universo se vai revelar racional. Mas, ainda que assim possa parecer, não existem melhores razões para supor que os fenómenos racionais têm de obedecer a uma geometria particular do que para supor que a música das esferas, assim a possamos nós alguma vez ouvir, tem de estar em escala diatónica.

Desde então, a matemática é uma actividade completamente livre, independente do mundo real, mais uma arte do que uma ciência. É tão independente do mundo exterior como a música; e, contudo, ao contrário da música, serve para ilucidar fenómenos naturais, é ter "subjectiva" como um produto criado livremente pela imaginação. Não é difícil descobrir que os matemáticos são conduzidos pelo mesmos incentivos e experimentam as mesmas satisfações que os outros artistas. A literatura da matemática está cheia de termos estéticos e não é raro que os matemáticos digam que estão menos interessados nos resultados do que na beleza dos métodos pelos quais fundamenta esses resultados.

Mas dizer que a matemática é uma arte não é dizer que ela é um mero divertimento. Arte não é algo que exista apenas para satisfazer uma "emoção estética". A arte digna desse nome revela-nos alguns aspectos da realidade. Isso é possível porque a nossa consciência e o mundo envolvente não são duas entidades independentes. A ciência avançou suficientemente para que possamos pensar que o mundo exterior é criação nossa, e entendemos mais do que criámos entendendo as leis da nossa própria existência, as leis de acordo com as quais criamos. Não há nenhuma razão para imaginar que existe um armazém celestial de frases musicais, mas é verdade que a música pode revelar-nos uma realidade mais profunda do que a do senso comum. "Aquele que entende o significado da minha música", terá dito Beethoven, "é aquele que está livre das misérias que afligem outros homens". Podemos não saber o que Beethoven queria dizer, mas é evidente que a música era para ele algo que tinha significado, algo que revelava uma realidade que não podia ser normalmente perceptível. E parece que o matemático ao criar a sua arte, está a exibir aquele movimento das nossas mentes que criou o "espaço temporal" que conhecemos. As matemáticas, tanto como a música ou qualquer outra arte, são um dos meios pelo qual nos elevamos a uma completa "consciência" de nós próprios. O significado da matemática reside precisamente no facto de ser uma arte que nos informa da natureza das nossas próprias mentes e, do muito que depende das nossas mentes. Não nos torna capazes de expressar algumas regiões remotas da existência eterna mas ajuda-nos a mostrar quão longe aquilo que existe depende da nossa forma de existência. Somos os criadores das leis do universo. É possível que não possamos experimentar nada do que criamos e que a maior das nossas criações matemáticas seja o próprio universo. E assim regressamos a uma espécie de Pitagorismo invertido.

A matemática tem um profundo significado no universo, não porque exibe os princípios pelos quais nos regemos, mas porque exibe os princípios que lhe impomos. Mostra-nos as leis da nossa própria existência e as condições necessárias da experiência. E não será verdade que as outras artes fazem algo de similar nas regiões da experiência que não dependem do intelecto? Pode acontecer que o significado que Beethoven declarou que a sua música possuí seja o de que, apesar de o homem viver num universo divergente, a verdade é que tanto na experiência na sua totalidade como naquela parte que é objecto da ciência, aquilo que o homem encontra é aquilo que criou, que o espírito do homem é de facto livre, eternamente submetido apenas aos seus próprios decretos. Seja como for, é certo que a função real da arte é a de incrementar a nossa consciência de nós mesmos, tornar-nos mais conscientes do que somos e, portanto, do que é realmente o universo em que vivemos. E porque a matemática, à sua maneira, também desempenha esta função, ela não é apenas esteticamente bela, mas profundamente significativa. É uma arte, e uma grande arte. É aí que, para além da sua utilidade na vida prática, a sua estima deve ser baseada.
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